Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,己知拋物線的焦點為,點是第一象限內拋物線上的一點,點的坐標為

（1）若,求點的坐標;

（2）若為等腰直角三角形,且,求點的坐標;

（3）弦經過點,過弦上一點作直線的垂線,垂足為點,求證:“直線與拋物線相切”的一個充要條件是“為弦的中點”.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）因為點是第一象限內拋物線上的一點,且,設,

則 即可求得答案;

（2）設,由,,可得:,,因為 ,可得,結合已知,即可求得答案;

（3）因為過點,設為:,點,點,其中點,可得:,聯立直線與拋物線得,結合已知條件,根據充要條件定義,即可求得答案.

（1）點是第一象限內拋物線上的一點,且

設,

則

解得:,即.

（2）設,由,

可得:,

①

又等腰,得點在軸投影為、中點,即:.

將,代入①得:,(舍去)

點坐標為.

（3）過點

設為:,點,點,其中點,

可得:

聯立直線與拋物線得,消掉

可得:

根據韋達定理可得:

設點處拋物線得切線為

聯立直線與拋物線得:,消掉

可得:

,可得:

過處切線方程為

化簡得

求切線與直線得交點

可得

軸,

與相切時,為中點

以上各步驟,均可逆

“直線與拋物線相切”的一個充要條件是“為弦的中點”.