Question

【題目】定義域為的單調函數(shù)滿足，且，

（1）求，；

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；

（3）若對于任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）奇函數(shù)；（3）

【解析】

（1）取代入函數(shù)滿足的等式，整理可得．再根據(jù)，結合定義和，算出；

（2）以取代，代入函數(shù)滿足的等式，可得，由此可得是奇函數(shù)；

（3）根據(jù)函數(shù)是單調函數(shù)且，得是定義域在上的增函數(shù)．再結合函數(shù)為奇函數(shù)，將題中不等式轉化為在上恒成立，最后采用變量分離的方法結合換元法求函數(shù)的最大值，可算出的取值范圍．

解：（1）取，得，

即，，

結合，得，可得；

（2）取，得

移項得

函數(shù)是奇函數(shù)；

（3）是奇函數(shù)，且在上恒成立，

在上恒成立，

又是定義域在的單調函數(shù)，且，

是定義域在上的增函數(shù)．

在上恒成立．

在上恒成立．

令，

由于，．

．．

則實數(shù)的取值范圍為．