【題目】已知圓
，點
在圓內，在過點P所作的圓的所有弦中，弦長最小值為
.
（1）求實數a的值；
（2）若點M為圓外的動點，過點M向圓C所作的兩條切線始終互相垂直，求點M的軌跡方程.
【答案】（1）
或4；（2）
或
.
【解析】
(1)由題點P與圓心的連線與弦垂直,即點P為弦的中點時,過點P的弦長最短.再根據垂徑定理求解實數a的值即可.
(2)根據圓的性質可得點M的軌跡為
為圓心,以
為半徑的圓,再根據(1)中的兩種情況求解即可.
（1）由圓
得到圓心坐標為
點
在圓內,
所以
解得
,
由圓的弦的性質可知,點P與圓心的連線與弦垂直,
即點P為弦的中點時,過點P的弦長最短
在過點P所作的圓的所有弦中,弦長最小值為
.
所以
,
解得
或4,（符合）.
（2）由（1）可知,或
時,因為過點M向圓C作的兩條切線總互相垂直,所以由圓的切線的性質可知兩條切線和垂直于切線的兩條半徑構成的四邊形為正方形,
且邊長為
,對角線長為,
所以,點M的軌跡為為圓心,以為半徑的圓
所以點M的軌跡方程為
或.
智能訓練練測考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班級在一次數學競賽中為全班學生設置了一等獎、二等獎、三等獎以及參與獎，各個獎品的單價分別為：一等獎
元、二等獎
元、三等獎
元、參與獎
元，獲獎人數的分配情況如圖，則以下說法不正確的是（ ）.
A. 獲得參與獎的人數最多
B. 各個獎項中參與獎的總費用最高
C. 購買每件獎品費用的平均數為元
D. 購買的三等獎的獎品件數是一、二等獎的獎品件數和的二倍
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，下頂點為
，橢圓的離心率是
，
的面積是
.
（1）求橢圓的標準方程.
（2）直線
與橢圓交于
，
兩點（異于點），若直線
與直線
的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線
的焦點為
，過點作垂直于
軸的直線與拋物線交于
，
兩點，且以線段
為直徑的圓過點
.
(1)求拋物線
的方程；
(2)若直線
與拋物線交于
，
兩點，點
為曲線
:
上的動點，求
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在抽取彩票“雙色球”中獎號碼時，有33個紅色球，每個球的編號分別為01，02，…，33.一位彩民用隨機數表法選取6個號碼作為6個紅色球的編號，選取方法是從下面的隨機數表中第1行第6列的數字3開始，從左向右讀數，則依次選出的第3個紅色球的編號為（ ）
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 |
57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 |
A.21B.32C.09D.20
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心在坐標原點,焦點在
軸上,離心率為
,橢圓上的點到焦點距離的最大值為
.
（1）求橢圓的標準方程;
（2）斜率為的直線
與橢圓交于不同的兩點
,且線段
的中垂線交軸于點
,求點橫坐標的取值范圍.
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