Question

【題目】如圖，已知在長方體中，，點為上的一個動點，平面與棱交于點，給出下列命題：

①四棱錐的體積為；

②存在唯一的點，使截面四邊形的周長取得最小值；

③當點不與，重合時，在棱上均存在點，使得平面

④存在唯一一點，使得平面，且

其中正確的命題是_____________（填寫所有正確的序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據，再根據等體積轉化，求出和，得到答案；②判斷出截面四邊形為平行四邊形，將正方體側面展開，面和面在同一平面內，得到最小為內的長度，從而得到截面四邊形的周長的最小值；③取為中點時，在平面中，延長，交于，可得；④以點建立空間直角坐標系，根據線面垂直，得到點坐標，并求出.

長方體中，

命題①，

易知平面

到平面的距離，等于到平面的距離，為，

同理到平面的距離，等于到平面的距離，為

所以

，故正確.

命題②，易知平面平面，

平面平面，平面平面

所以，同理，

即四邊形為平行四邊形

將正方體側面展開，面和面在同一平面內，

可得在內，最小為的長度，

此時點為與的交點，

所以四邊形的周長取得最小值，故正確.

命題③，取為中點時，易知為中點

在平面中，延長，交于，

通過，得到，

所以，

即此時平面，

而此時點在延長線上，不在棱上，故錯誤.

命題④，以點建立空間直角坐標系，設點

，，

所以，即，

要使平面，

則需，即

所以，得，即，故正確.

故答案為：①②④