Question

定義在R上的函數及二次函數滿足：且.
（1）求和的解析式；
（2）對于，均有成立，求的取值范圍；
（3）設，討論方程的解的個數情況．

Answer 1

（1），；（2）的取值范圍為；（3）有5個解.

試題分析：（1）根據已知的函數方程，可以得到，聯立已知條件的函數方程，即可解得，又由條件二次函數及，可設，再根據，可求得；（2）問題等價于求使，恒成立的的取值范圍，即求當，
使成立的的取值范圍，通過判斷的單調性可知，其在上單調遞增，因此只需，由（1）求得的二次函數的解析式，可得只需，即的取值范圍為；（3）根據條件及（1），（2）所求得的解析式，可畫出的示意圖，根據示意圖，可以得到方程即等價于或，再從示意圖上可得：有2個解, 有個解，因此有個解.
試題解析：（1） ,①
即②
由①②聯立解得:.            2分，
是二次函數, 且,可設,
由,解得.∴，
∴，             5分；
（2）設,
,
依題意知:當時,
,在上單調遞減,
∴                     7分
∴在上單調遞增,，∴
∴解得:，
∴實數的取值范圍為.           10分；
由題意，可畫出的示意圖如圖所示:

令,則
∴，由示意圖可知：有2個解, 有個解.
∴有個解.                      14分.