Question

【題目】如圖，已知橢圓 的離心率為 ，F(xiàn)1、F2為其左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△F1AF2的周長為 ．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為c，則 ，由題意知 ，

二者聯(lián)立解得 ，c=1，則b2=1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：設(shè)直線l的方程為：x=ky﹣1，與 聯(lián)立，消x，整理得：（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，△=（﹣2k）2+4（k2+2）=8k2+8＞0， ， ，

所以 = = =

= = = = （當(dāng)且僅當(dāng) ，即k=0時等號成立），所以△AOB面積的最大值為 ．

說明：若設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0），則 ，與 聯(lián)立，消x，整理得： ， ，

所以 = = = = ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即k=0時等號成立，由k≠0，則 ．

當(dāng)直線l的方程為：x=﹣1時，此時 ， ．

綜上所述：△AOB面積的最大值為

【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，利用離心率以及△F1AF2的周長，解得a，c，然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)直線l的方程為：x=ky﹣1，與 聯(lián)立，消x，整理得：（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0求出A，B的縱坐標(biāo)，表示出三角形的面積公式，化簡整理，通過基本不等式求出最值．說明：若設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0），則 ，與 聯(lián)立，方法與前邊的求解相同．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．