Question

【題目】如題所示的平面圖形中，為矩形，，為線段的中點，點是以為圓心，為直徑的半圓上任一點（不與重合），以為折痕，將半圓所在平面折起，使平面平面，如圖2，為線段的中點.

（1）證明：.

（2）若銳二面角的大小為，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連，由已知可得，點在以為直徑的半圓上一點，可得，

平面平面，，可證平面，得到，進而可證平面，從而有平面，即可證明結論；

（2）平面，得為二面角的平面角，以為坐標原點建立空間直角坐標系，求出坐標，以及平面法向量坐標，由（1）得平面的法向量為，由空間向量的面面角公式，即可求解.

（1）連，分別為線段的中點，，

點在以為直徑的半圓上一點，，

平面平面，平面平面，

，平面，平面，

平面平面，

平面，平面，

平面，；

（2）平面，

為二面角的平面角，

，

過點做，

過點在平面做的垂線，交于，

則平面，以為坐標原點，過點與平行的直線，

所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，

，

，

設平面的法向量為，

，即，令，則，

，由（1）得平面法向量為，

，

所以二面角的正弦值為.