Question

【題目】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數）．

（1）寫出直線及曲線的直角坐標方程；

（2）過點且平行于直線的直線與曲線交于，兩點，若，求點的軌跡及其直角坐標方程．

Answer 1

【答案】（1）直線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為．（2）點的軌跡是橢圓夾在平行直線之間的兩段弧．

【解析】

（1）利用極坐標與直角坐標方程的互化，直接寫出直線的普通方程，消去參數可得曲線的直角坐標方程；

（2）設點，以及平行于直線的直線參數方程，直線與曲線聯立方程組，通過，即可求點軌跡的直角坐標方程．通過兩個交點推出軌跡方程的范圍．

解：（1）直線的極坐標方程為，

直線的傾斜角為，且經過原點，

故直線的直角坐標方程為，

曲線的參數方程為為參數），

曲線的直角坐標方程為．

（2）設點，及過點的直線為，

由直線與曲線相交可得：，

，

，即：，

點軌跡的直角坐標方程，表示一橢圓．

取代入得：

由解得

故點的軌跡是橢圓夾在平行直線之間的兩段弧．