Question

【題目】已知函數．

（1）求證：當時，在上存在最小值；

（2）若是的零點且當時，，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）將代入，對函數進行求導，根據零點存在定理可得在上有唯一零點，判斷單調性即可得結果；

（2）由為函數零點，將用表示可得，當時，通過求導可得在上單調遞增，從而可得結果；，則取，驗證，即時，不滿足題意，綜合可得結果.

（1）的定義域為.

當時，，.

因為當時，，

所以在上單調遞增，

又，.

所以在上有唯一零點，

且當時，；

當時，.

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在上存在最小值.

（2）因為是函數的零點，

所以，即，即，

所以，所以．

①若，則當時，．

所以在上單調遞增，

所以當時，，

所以滿足題意．

②若，則取，

因為，且．

所以不滿足題意．

綜上，的取值范圍．