Question

【題目】關于函數，給出下列命題：
①若函數f(x)是R上周期為3的偶函數，且滿足f(1)＝1，則f(2)－f(－4)＝0；
②若函數f(x)滿足f(x＋1)f(x)＝2 017，則f(x)是周期函數；
③若函數g(x)＝ 是偶函數，則f(x)＝x＋1；
④函數y＝ 的定義域為 .
其中正確的命題是 ． (寫出所有正確命題的序號)

Answer 1

【答案】①②
【解析】①因為f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝f(x)，所以f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(－4)＝f(－1)＝f(1)＝1，故f(2)－f(－4)＝0，①正確．②因為f(x＋1)f(x)＝2 017，所以f(x＋1)＝ ，f(x＋2)＝ ＝f(x)．所以f(x)是周期為2的周期函數，②正確．③令x＜0，則－x＞0，g(－x)＝－x－1.又g(x)為偶函數，所以g(x)＝g(－x)＝－x－1.即f(x)＝－x－1，③不正確．④要使函數有意義，需滿足 即0＜|2x－3|≤1，
所以1≤x≤2且x≠ ，即函數的定義域為 ，④不正確．
①利用函數的周期性和奇偶性求值判斷．②利用周期函數的定義證明．③利用偶函數的定義推導．④利用函數的性質求函數的定義域．