Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）對任意的實數(shù)，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)實數(shù)取最小值時，討論函數(shù)在時的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由可知，區(qū)間是不等式解集的子集，由此可得出實數(shù)的不等式，解出即可；

（Ⅱ）由題意可知，，則，令，可得出，令，對實數(shù)的取值范圍進行分類討論，先討論方程的根的個數(shù)及根的范圍，進而得出方程的根個數(shù)，由此可得出結(jié)論.

（Ⅰ），，

對任意的實數(shù)，恒有成立，

則區(qū)間是不等式解集的子集，，解得，

因此，實數(shù)的取值范圍是；

（Ⅱ），由題意可知，，，

令，得，令，

則，作出函數(shù)和函數(shù)在時的圖象如下圖所示：

作出函數(shù)在時的圖象如下圖所示：

①當(dāng)或時，即當(dāng)或時，方程無實根，

此時，函數(shù)無零點；

②當(dāng)時，即當(dāng)時，方程的根為，

而方程在區(qū)間上有兩個實根，此時，函數(shù)有兩個零點；

③當(dāng)時，即當(dāng)時，方程有兩根、，

且，，

方程在區(qū)間上有兩個實根，方程在區(qū)間上有兩個實根，此時，函數(shù)有四個零點；

④當(dāng)時，即當(dāng)時，方程有兩根分別為、，

方程在區(qū)間上只有一個實根，方程在區(qū)間上有兩個實根，此時，函數(shù)有三個零點；

⑤當(dāng)時，即當(dāng)時，方程只有一個實根，且，

方程在區(qū)間上有兩個實根，此時，函數(shù)有兩個零點；

⑥當(dāng)時，即當(dāng)時，方程只有一個實根，

方程在區(qū)間上只有一個實根，此時，函數(shù)只有一個零點.

綜上所述，當(dāng)或時，函數(shù)無零點；

當(dāng)時，函數(shù)只有一個零點；

當(dāng)或時，函數(shù)有兩個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有三個零點；

當(dāng)時，函數(shù)有四個零點.