Question

如圖，三棱柱的側棱平面，為等邊三角形，側面是正方形，是的中點，是棱上的點.

（1）若是棱中點時，求證：平面;
（2）當時，求正方形的邊長.

Answer 1

詳見解析

試題分析：（1） 取的中點為，連接 ,由題設可知，為的中點，易證,可證四邊形是平行四邊形，所以 ，依據正三棱柱的條件，易證 ， ,這樣和平面內的兩條相交直線垂直，所以平面 ；
（2）,只要設正方形的邊長為,那么根據第一問的結論，用可以表示與高,根據體積為，即可求出.
（1）取的中點為，連接,
 是的中點, 是棱中點,
∥,,,
則四邊形是平行四邊形，,
又因為為正三角形，側面是正方形,

,所以,,
因為側棱⊥平面，所以，
,，所以,
又因為，，所以平面. 6分
（2）設正方形的邊長為
由于E是的中點，△EAB的面積為定值。
∥平面，點F到平面的距離為定值
即為點C到平面平面的距離
又，且=
即 ，所以正方形的邊長為6.       12分