Question

已知函數(shù)f(x)＝－x³＋x²－2x(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對(duì)于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若過點(diǎn)可作函數(shù)y＝f(x)圖象的三條不同切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

(1) 單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 和；(2) ；(3)

試題分析：(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間令導(dǎo)數(shù)小于0得減區(qū)間。(2) 對(duì)于任意都有成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意都有。求時(shí)可根據(jù)求導(dǎo)求單調(diào)性求最值，也可直接根據(jù)二次函數(shù)問題求其單調(diào)區(qū)間再求其最值。(3)先在曲線上任取一點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求其過此點(diǎn)的切線的斜率，再用點(diǎn)斜式求切線方程。將代入直線方程。分析可知此方程應(yīng)有3個(gè)不同的解。將上式命名新函數(shù)，用單調(diào)性求此函數(shù)的極值點(diǎn)可知一個(gè)極值應(yīng)大于0，另一個(gè)極值應(yīng)小于0.
試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
得．                            1分
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；                    2分
當(dāng)x＜1或x＞2時(shí)，，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．                      3分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 和 ．4分
(2)由，得，            5分
因?yàn)閷?duì)于任意都有成立，
所以問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意都有．          6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240349311531231.png" style="vertical-align:middle;" />，其圖象開口向下，對(duì)稱軸為.
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，
由，得，此時(shí).                 7分
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
由，得，此時(shí).                 8分
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．                   9分
(3)設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的切點(diǎn)，
則過點(diǎn)的切線的斜率，                    10分
所以過點(diǎn)P的切線方程為，     11分
因?yàn)辄c(diǎn)在該切線上，
所以，
即.
若過點(diǎn)可作函數(shù)圖象的三條不同切線，
則方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．                    12分
令，則函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸橫軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
令，解得或.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034931699659.png" style="vertical-align:middle;" />，，                     13分
所以必須，即.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．                             14分