Question

【題目】已知△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求cosA及a的值；
（2）若b2+c2=4，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2acosA=ccosB+bcosC，

由正弦定理得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC

2sinAcosA=sin（B+C）=sinA，

又∵0＜A＜πsinA≠0，

∴2cosA=1cosA= ．

∵A∈（0，π），

∴A= ．

∴由cosA= sinA= ，

由于頂點在單位圓上的△ABC中，2R=2，利用正弦定理可得： ．

可得：a=2sinA= ．

（2）解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosAbc=b2+c2﹣a2=4﹣3=1．

∴S△ABC= bcsinA= = ．

【解析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦函數公式化簡已知可得2sinAcosA=sinA，又0＜A＜π，即可求得cosA的值，進而由同角三角函數基本關系式可求sinA的值，由于頂點在單位圓上的△ABC中，利用正弦定理可求a．（2）利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面積公式即可得解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．