Question

【題目】已知：函數f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）已知a∈R，設P：當0＜x＜ 時，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：當x∈[﹣2，2]時，g（x）=f（x）﹣ax是單調函數．如果滿足P成立的a的集合記為A，滿足Q成立的a的集合記為B，求A∩RB（R為全集）．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=﹣1，y=1，則由已知f（0）﹣f（1）=﹣1×（﹣1+2+1）

∵f（1）=0，∴f（0）=﹣2

（2）解：令y=0，則f（x）﹣f（0）=x（x+1）

又∵f（0）=﹣2，∴f（x）=x2+x﹣2

（3）解：不等式f（x）+3＜2x+a，即x2+x﹣2+3＜2x+a即x2﹣x+1＜a，

當 時， ，

又 恒成立，故A={a|a≥1}，

g（x）=x2+x﹣2﹣ax=x2+（1﹣a）x﹣2

又g（x）在[﹣2，2]上是單調函數，故有 ，

∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，

∴A∩CRB={a|1≤a＜5}

【解析】（1）令x=﹣1，y=1，由條件，結合f（1）=0，即可得到f（0）；（2）令y=0，結合f（0），即可求出f（x）的解析式；（3）化簡不等式f（x）+3＜2x+a，得到x2﹣x+1＜a，求出左邊的范圍，由恒成立得到a的范圍；由二次函數的單調性，即可得到集合B，從而求出A∩RB．