Question

【題目】已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為q（）的等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)正整數(shù)k，t，r成等差數(shù)列，且，若，求實(shí)數(shù)q的最大值；

（3）若數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，是否存在正整數(shù)m，使得恰好是數(shù)列中的項(xiàng)？若存在，求岀m的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)，，成等差數(shù)列與，推導(dǎo)出，從而得出，令，則，從而可得的最大值；
（3）根據(jù)題設(shè)條件可得，再利用恰好是數(shù)列中的項(xiàng)，可得只能為，，，利用分類思想，即可求出的值．

（1）等差數(shù)列中，，，

解得，，.

（2）正整數(shù)k，t，r成等差數(shù)列，且，若，

，，

又整理可得..

又，，令，則，或1.

又，.∴n為奇數(shù)，，為遞減數(shù)列

∴當(dāng)時(shí)，q取最大值.

（3）由題意得，.

若恰好是數(shù)列中的項(xiàng)只能為，，，

第一類：若，則，所以m無解；

第二類：若，則.由題意不符合題意，符合題意.

當(dāng)時(shí)，令（），則，

設(shè)，則，

即為增函數(shù)，故，為增函數(shù).故，

即當(dāng)時(shí)，無解，即是方程唯一解.

第三類：若，則，即

綜上所述，或.