Question

數列{a_n}為正項等比數列，它的前k項和為80，其中最大項為54，前2k項和為6560，其中k∈N^*
（Ⅰ）求數列{a_n}的首項a₁和公比q；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_n，n∈N^*，求數列{b_n}的前n項和b₁+b₂+b₃+…+b_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據S_2n-S_n=6480＞S_n，可推斷出公比大于1，即數列為遞增數列，故可知第n項為數值的最大項．與S_n=80，S_2n=6560聯立方程可求得首項a和q的值．
（Ⅱ）由由（Ⅰ）可知a_n=2×3^n-1，繼而得到b₁+b₂+b₃+…+b_n=n+（0+1+2+…+n-1）log₂3，求的結果即可．

解答： 解：（Ⅰ）設公比為q，∵S_2n-S_n=6480＞S_n，
∴q＞1．
又由a_n＞0，則最大項是a_n=a₁q^n-1=54；①
又S_n=

a1(1-qn)

1-q

=80，②
S_2n=

a1(1-q2n)

1-q

=6560，③
由①②③解得a₁=2，q=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n=2×3^n-1，
∴b_n=log₂2×3^n-1=1+（n-1）log₂3，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=n+（0+1+2+…+n-1）log₂3=n+

n(n-1)

2

log₂3．

點評：本題考查了等比數列的通項公式，以及求和公式，解題的關鍵是通過判斷數列的遞增或遞減找到數值最大項．