Question

已知f（x）=4^ax-m•2^x+1．
（1）當a=1時，函數f（x）在[0，log₂3]上的最小值為-4，求實數m的值；
（2）當m=1時，若f（x）≥2^x在[1，2]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,復合函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=1時，函數f（x）=4^x-2m2^x，利用換元法結合一元二次函數的性質即可求出m的值；
（2）當m=1時，f（x）≥2^x?4^ax-2^x+1≥2^x，兩邊取對數，log24ax≥log23•2x，得出2ax≥x+log₂3，進一步整理得2a≥

log23

x

+1，
求最值，使2a≥(

log23

x

+1)最小值即可求出a的范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，函數f（x）=4^x-2m2^x，
f（x）=（2^x）²-2m•2^x，
令t=2^x，則t∈[1，3]，
則函數等價為y=g（t）=t²-2mt=（t-m）²-m²，
①m≥3時，f（x）_min=g（3）=9-6m=-4，∴m=

13

6

（舍）；
②1＜m＜3時，f（x）_min=g（m）=-m²=-4，∴m=2；
③m≤1時，f（x）_min=g（1）=1-2m=-4，∴m=

5

2

（舍）；
綜上，m=2
（2）當m=1時，f（x）≥2^x?4^ax-2^x+1≥2^x，
∴4^ax≥3•2^x，兩邊取對數，log24ax≥log23•2x，∴2ax≥x+log₂3
∴2a≥

log23

x

+1，x∈[1，2]恒成立，
當x=1時，(

log23

x

+1)最小值=1+log₂3，
∴2a≥1+log₂3，
∴a≥

1+log23

2

．

點評：本題主要考查與指數函數有關的性質是運算，同時考查函數恒成立的問題，利用換元法結合一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．