Question

橢圓

x2

4

+y²=1中斜率為1的平行弦的中點的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設弦的兩端點分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中點為M（x，y），

解答： 解：（1）設弦的兩端點分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中點為M（x，y），
則2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
把A、B兩點代入

x2

4

+y²=1得，

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

，
兩式相減并整理可得，

x12-x22

4

+y12-y22=0，

(x1+x2)(x1-x2)

4

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
即

x(x1-x2)

2

+2y(y1-y2)=0，①
又平行弦AB的斜率為1，所以

y1-y2

x1-x2

=1，代入式①得x+4y=0，
所求的軌跡方程為x+4y=0（橢圓內部分），
故答案為：x+4y=0（橢圓內部分）．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，注意點差法的合理運用，是中檔題．