Question

（2013•南京二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使得CD=AC，連結AD交圓O于點E，連結BE與AC交于點F，求證：AE²=EF•BE．

Answer 1

分析：等腰△ACD中得∠CAD=∠D，結合圓周角定理證出∠EBC=∠D．等腰△ABC中得到∠ABC=∠ACB，利用△ACD的外角得到∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D，從而∠ABC=2∠EBC，所以∠ABE=∠EBC=∠FAE．由∠AEB=∠FEA為兩個三角形的公共角，證出△AEB∽△FEA，得到

AE

FE

=

EB

EA

，即得AE²=EF•BE．

解答：解：∵△ACD中，CD=AC，∴∠CAD=∠D
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D
∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
∵∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D
∴∠ABC=2∠D=2∠EBC，從而∠ABE=∠EBC=∠FAE
又∵∠AEB=∠FEA，∴△AEB∽△FEA
由此可得

AE

FE

=

EB

EA

，即AE²=EF•BE．

點評：本題著重考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質、三角形的外角定理和相似三角形的判定與性質等知識，屬于中檔題．