Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，且PA=AD．

（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）設二面角D﹣AE﹣C為60°，且AP=1，求D到平面AEC的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD交AC于O點，則O為BD的中點，連結OE，

∵E為PD的中點，∴PB∥OE

又∵OE平面AEC，PB平面AEC

∴PB∥平面AEC；

（2）證明：（幾何法）：∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AD，PA⊥CD

∴在直角△PAD中，PA=ADE為PD的中點，

∴AE⊥PD

又∵底面ABCD為矩形，∴AD⊥CD，

∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD

∵AE平面PAD，∴AE⊥CD，∵PD∩CD=D，

∴AE⊥平面PCD．

（向量法）：由題知 四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，

如圖以A點為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間坐標系A﹣xyz

設AB=a，AD=b，則

∴ ，

∴ ）

∴AE⊥DC，AE⊥DP，

∵DP∩DC=D，∴AE⊥平面PCD

（3）解：由（2）知平面DAE的法向量是 ，

∵AP=1，∴ ，

∴ ，

設平面AEC的法向量是 ，

∴ ，

∴ ，令z=1，得 ，∴

∴ ，

解得

∵ ，

∴D到平面AEC的距離

【解析】（1）連接BD交AC于O點，則O為BD的中點，從而PB∥OE，由此能證明PB∥平面AEC．（2）（幾何法）：推導出PA⊥AD，PA⊥CD，從而AE⊥PD，再推導出AD⊥CD，從而CD⊥平面PAD，進而AE⊥CD，由此能證明AE⊥平面PCD．（2）（向量法）：以A點為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間坐標系A﹣xyz，利用向量法能證明AE⊥平面PCD．（3）求出平面DAE的法向量和平面AEC的法向量，利用向量法能求出D到平面AEC的距離．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．