Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點．
①若線段AB中點的橫坐標為﹣ ，求斜率k的值；
②若點M（﹣ ，0），求證： 為定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為 滿足a2=b2+c2， ，

根據橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為 ，可得 ．

從而可解得 ，

所以橢圓方程為

（2）

解：①將y=k（x+1）代入 中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0

△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，

因為AB中點的橫坐標為 ，所以 ，解得

②證明：由①知 ，

所以

= =

= = =

【解析】（1）根據橢圓的離心率，三角形的面積及橢圓幾何量之間的關系，建立等式，即可求得橢圓的標準方程；（2）①直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及線段AB中點的橫坐標為 ，即可求斜率k的值；②利用韋達定理，及向量的數量積公式，計算即可證得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．