Question

【題目】關于函數,下列說法正確的是______（填上所有正確命題序號）.（1）是的極大值點 ；（2）函數有且只有1個零點；（3）存在正實數，使得恒成立 ；（4）對任意兩個正實數，且，若，則.

Answer 1

【答案】（2）（4）

【解析】

利用導數求得函數的單調性與極值（最值），即可判定（1）（4），構造新函數，求得新函數的單調性，即可判定（2），由，可得，令，取得函數的的單調性與最值，即可判定（3），得到答案..

由題意，函數，則，

可得函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以當時，函數取得極小值，所以（1）不正確；

由函數，所以，

可得函數在區間上單調遞減，

當時，，當時，，所以函數有且只有1個零點，所以（2）正確；

由，可得，令，則，

令，則，

所以當時，單調遞減，

當時，單調遞增，所以，所以 ，

所以在上單調遞減，函數無最小值，

所以不存在正整數，使得恒成立，所以（3）不正確；

對于任意兩正實數，且，

由（1）可知函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

若，則，所以（4）正確.

證明如下：不妨設 ，則，

由

令，則，

原式，則，

所以在上是減函數，

所以，所以，

又因為在上單調遞增，所以，故。