Question

【題目】據說，年過半百的笛卡爾擔任瑞典一小公國的公主克里斯蒂娜的數學老師，日久生情，彼此愛慕，其父國王知情后大怒，將笛卡爾流放回法國，并軟禁公主，笛卡爾回法國后染上黑死病，連連給公主寫信，死前最后一封信只有一個公式：國王不懂，將這封信交給了公主，公主用笛卡爾教她的坐標知識，畫出了這個圖形“心形線”.明白了笛卡爾的心意，登上了國王寶座后，派人去尋笛卡爾，其逝久矣（僅是一個傳說）.心形線是由一個圓上的一個定點，當該圓繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時，這個定點的軌跡，因其形狀像心形而得名．在極坐標系中，方程表示的曲線就是一條心形線，如圖，以極軸所在直線為軸，極點為坐標原點的直角坐標系中，已知曲線的參數方程為（為參數）.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）若曲線與相交于、、三點，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由參數方程轉化為普通方程,再由普通方程轉化為極坐標方程即可得出答案;

(2)聯立曲線和的普通方程求解A和B兩點坐標,再利用兩點之間距離公式求解線段的長度.

(1)由,(為參數),消參數化簡得普通方程:,

令,,即化簡得,即

即得曲線的極坐標方程為().

(2)由曲線極坐標方程,得其普通方程為:

聯立解得

所以由兩點間距離公式得