Question

(本小題滿分12分)
如圖，棱長為2的正方體中，Ｅ，Ｆ滿足．

（Ⅰ）求證：EF//平面AB；
（Ⅱ）求證：EF；

Answer 1

(1)要證明線面平行，一般通過線線平行來證明，E、F分別為DD₁、BD的中點，則可知中位線性質則EF∥BD₁，進而根據線面平行的判定定理來證明。
(2)根據題意，由于AB⊥面BB₁C₁C　則可知AB⊥B₁C且有B₁C⊥BC₁，AB∥BC₁，那么得到B₁C⊥面ABC₁D，然后
結合線面垂直的性質定理來證明線線垂直。

試題分析：解：

⑴∵
∴E、F分別為DD₁、BD的中點…………2分
連結BD₁，則EF∥BD₁………………4分
又……………………5分
∴EF∥面ABC₁D₁……………………6分
⑵正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中
∵AB⊥面BB₁C₁C　　∴AB⊥B₁C…………8分
又正方形BB₁C₁C中，B₁C⊥BC₁，AB∥BC₁＝B……10分
∴B₁C⊥面ABC₁D₁
∴B₁C⊥BD₁
∵EF∥BD₁
∴EF⊥B₁C……………………12分
點評：解決空間中線線的平行和垂直的關鍵是對于線面的平行性質定理和線面的垂直的性質定理的熟練的運用，同時要結合平行的傳遞性來研究其它 的垂直問題。這類問題的解決一般要轉化到一個平面中來分析，轉化思想是立體幾何的思想體現。中檔題。