Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求不等式的解集；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）m≥3或m≤﹣1.

【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法進(jìn)行求解，即可得答案；

（2）由題意可得|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，設(shè)g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由題意可得只需g（x）min≥2，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)，以及絕對(duì)值不等式的解法，可得所求范圍．.

（1）若，不等式①

當(dāng)時(shí)，不等式①等價(jià)于，∴；

當(dāng)時(shí)，不等式①等價(jià)于，∴；

當(dāng)時(shí)，不等式①等價(jià)于，∴；

綜上所述，不等式的解集為.

（2）關(guān)于x的不等式|x﹣1|≥1恒成立，即為|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立，

設(shè)g（x）＝|x﹣m|+2|x﹣1|，由題意可得只需g（x）min≥2，

而g（x）＝|x﹣m|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣m﹣x+1|+0＝|1﹣m|，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1取得等號(hào)，

則g（x）的最小值為|1﹣m|，

由|1﹣m|≥2，

解得m≥3或m≤﹣1．