Question

【題目】若對任意的實數k，b，函數與直線總相切，則稱函數為“恒切函數”.

（1）判斷函數是否為“恒切函數”；

（2）若函數是“恒切函數”，求實數m，n滿足的關系式；

（3）若函數是“恒切函數”，求證：.

Answer 1

【答案】（1）函數為“恒切函數”（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）設切點為，由導數的幾何意義，以及切點為切線和函數圖象的公共點，“恒切函數”，即為，根據關系式，求解即可；

（2）設切點為，由，求出，即可得出結論；

（3）設切點為，由，得到，先求出關于切點方程的解或解的范圍，再由，即可求出的取值范圍.

（1）函數為“恒切函數”，設切點為.

則，∴

對于函數.

設切點為，∴，

解得：.∴是“恒切函數”.

（2）若函數是“恒切函數”，

設切點為.

，

解得：，即.

∴實數m，n滿足的關系式為：.

（3）函數是“恒切函數”，設切點為.

∵，∴，

∴.

考查方程的解，設.

∵，令，解得：.

∴當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

∴.

1°當時

∵.

∴在上有唯一零點.

又∵，

∴.

2°當時∵，

∴在上有唯一零點0，∴.

綜上可知：.