Question

【題目】已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，設橢圓的方程為1（a1＞b1＞0），雙曲線的方程為1（a2＞0，b2＞0），利用橢圓、雙曲線的定義及離心率公式可得的表達式，通過基本不等式即得結論．

解：由題意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，

設橢圓的方程為1（a1＞b1＞0），

雙曲線的方程為1（a2＞0，b2＞0），

又∵|F1P|+|F2P|＝2a1，|PF2|﹣|F1P|＝2a2，

∴|F2P|+2c＝2a1，|F2P|﹣2c＝2a2，

兩式相減，可得：a1﹣a2＝2c，

則（18）

（218）＝8．

當且僅當，即有e2＝3時等號成立，

則的最小值為8，

故答案為：8．