Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，經過點F的直線與拋物線C交于不同的兩點A，B，的最小值為4.

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知P，Q是拋物線C上不同的兩點，若直線恰好垂直平分線段PQ，求實數k 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設，，過焦點的直線方程，代入拋物線方程，用焦半徑公式表示出焦點弦長表示為的函數后可得最小值，由最小值為4可得；

（2）由垂直可設直線方程為，代入拋物線方程有，由韋達定理求出弦的中點坐標，代入直線方程，得的關系，再代入可求得的范圍．

解：（1）設過焦點的直線與拋物線分別交于點，，

與拋物線方程聯立得，則，

，等號成立時，，

即，故拋物線；

（2）由題知，故可設直線方程為，

與拋物線的方程聯立得，

則即①，

又，

設中點為，則，

，

又點在直線上，故，

則，

代入①式得，即，

解得.