Question

已知數列滿足：且對任意的有.
(Ⅰ)求數列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在等差數列，使得對任意的有成立？證明你的結論

Answer 1

(Ⅰ)
（Ⅱ），即

(Ⅰ)解：∵
∴ 

∴數列是首項為（），公比為2的等比數列，………………4分
， 
，∴數列是首項為1，公差為1的等差數列
，∴…                     …………………7分
（Ⅱ）令代入得：
解得: 
由此可猜想，即 …………………10分
下面用數學歸納法證明：
（1）當n＝1時，等式左邊＝1，右邊＝,
當n＝1時，等式成立，
（2）假設當n＝k時，等式成立，即 
當n＝k＋1時
 



∴當n＝k＋1時，等式成立，
綜上所述，存在等差數列，使得對任意的有成立。             …………………14分