Question

下列五個命題中：
①函數y=log_a（2x-1）+2015（a＞0且a≠1）的圖象過定點（1，2015）；
②若定義域為R函數f（x）滿足：對任意互不相等的x₁、x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，則f（x）是減函數；
③f（x+1）=x²-1，則f（x）=x²-2x；
④若函數f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函數，則實數a=-1；
⑤若a=

logc8

logc2

（c＞0，c≠1），則實數a=3．
其中正確的命題是

 

．（填上相應的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：①，令函數y=f（x）=log_a（2x-1）+2015（a＞0且a≠1），易求f（1）=2015，可判斷①；
②，依題意，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0?

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，利用函數單調性的定義可判斷②；
③，易求f（x+1）═（x+1）²-2（x+1），于是知f（x）=x²-2x，可判斷③；
④，依題意知f（0）=0，可求得a=1，可判斷④；
⑤，利用對數的換底公式，可得a=

logc8

logc2

=log₂8=3（c＞0，c≠1），可判斷⑤．

解答： 解：對于①，函數y=f（x）=log_a（2x-1）+2015（a＞0且a≠1），有f（1）=2015，即其圖象過定點（1，2015），故①正確；
對于②，若定義域為R函數f（x）滿足：對任意互不相等的x₁、x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則f（x）是增函數，故②錯誤；
對于③，f（x+1）=x²-1=[（x+1）-1]²-1=（x+1）²-2（x+1），則f（x）=x²-2x，故③正確；
對于④，若函數f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函數，又其定義域為R，故f（0）=

a•20+a-2

20+1

=0，解得實數a=1，故④錯誤；
對于⑤，若a=

logc8

logc2

=log₂8（c＞0，c≠1），則實數a=3，故⑤正確．
綜上所述，正確選項為：①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查對數函數的圖象與性質，考查函數的單調性與奇偶性的判斷，屬于中檔題．