Question

已知，數列的前項和為，點在曲線上，且，.
（1）求數列的通項公式；
（2）數列的前項和為，且滿足，，求數列的通項公式；
（3）求證：，.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）先根據函數的解析式，由條件“點在曲線上”上得出與之間的遞推關系式，然后進行變形得到，于是得到數列為等差數列，先求出數列的通項公式，進而求出數列的通項公式；（2）根據（1）中的結果結合已知條件得到
，兩邊同時除以，得到，構造數列為等差數列，先求出數列的通項公式，然后求出，然后由與之間的關系求出數列的通項公式；（3）對數列中的項進行放縮法
，再利用累加法即可證明相應的不等式.
試題解析：（1）且，∴，
數列是等差數列，首項，公差，，
，；
（2）由，，
得，，
數列是等差數列，首項為，公差為，
∴，，當時，，
也滿足上式，，；
（3），

.
考點：1.構造等差數列求通項；2.定義法求通項公式；3.放縮法證明數列不等式