Question

一束光線從點A（-1，0）出發，經過直線l：2x-y+3=0上的一點D反射后，經過點B（1，0）．
（1）求以A，B為焦點且經過點D的橢圓C的方程；
（2）過點B（1，0）作直線l交橢圓C于P、Q兩點，以AP、AQ為鄰邊作平行四邊形APRQ，求對角線AR長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出點A（-1，0）關于直線l：2x-y+3=0的對稱點為A′(-

9

5

，

2

5

)，由題設知橢圓長軸長等于|A′B|，從而求出a，b，c，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立方程組

x=my+1 x2+2y2=1

，消去x得：（my+1）²+2y²=2，然后利用韋達定理和兩點間距離公式，能夠求出對角線AR長度的取值范圍．

解答：解：（1）點A（-1，0）關于直線l：2x-y+3=0的對稱點為A′(-

9

5

，

2

5

)，
∴2a=|A′B|=

(1-(- 9 5 ))2+(0- 2 5 )2

=2

2

，c=1，∴b²=1，
所以所求橢圓方程為：

x2

2

+y2=1．
（2）設直線l：x=my+1，（m∈R），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯立方程組

x=my+1 x2+2y2=2

，
消去x得：（my+1）²+2y²=2，
即（m²+2）y²+2my-1=0，
∴y1+y2=-

2m

m2+2

，x1+x2=m(y1+y2)+2=-

2m2

m2+2

+2=

4

m2+2

∵

AR

=

AP

+

AQ

=(x1+1，y1)+(x2+1，y2)=(x1+x2+2，y1+y2)
∴|

AR

|2=(x1+x2+2)2+(y1+y2)2=(

4

m2+2

+2)2+

4m2

(m2+2)2

=4(

2

(m2+2)2

+

5

(m2+2)

+1)
令

1

m2+2

=t(0＜t≤

1

2

)，
則|

AR

|2=8t2+20t+4，
∴4＜|

AR

|2≤16，2＜|

AR

|≤4．

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關系的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理、兩點間距離公式的應用，合理地進行等價轉化．