Question

已知直線l：x-y+3=0，一束光線從點(diǎn)A（1，2）處射向x軸上一點(diǎn)B，又從B點(diǎn)反射到l上一點(diǎn)C，最后又從C點(diǎn)反射回A點(diǎn)．
（Ⅰ）試判斷由此得到的△ABC是有限個(gè)還是無限個(gè)？
（Ⅱ）依你的判斷，認(rèn)為是無限個(gè)時(shí)求出所以這樣的△ABC的面積中的最小值；認(rèn)為是有限個(gè)時(shí)求出這樣的線段BC的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)出B點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），根據(jù)對稱點(diǎn)的特點(diǎn)得到A′和B′的坐標(biāo)，表示出直線A′B的方程與直線l聯(lián)立求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，同理表示出直線AB′的方程與直線l聯(lián)立求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，兩個(gè)相等求出m的值，經(jīng)過判斷得到三角形ABC的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）由m的值得到B和C的坐標(biāo)，求出斜率，即可寫出直線的方程．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示，
設(shè)B（m，0），點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′（1，-2），點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B′（-3，m+3），根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，點(diǎn)C在直線A′B上，又在直線AB′上．
求得直線A′B的方程為y=

2

m-1

(x-m)，
由

y= 2 m-1 (x-m) y=x+3

解得xc=

3-5m

m-3

直線AB′的方程為y-2=

-m-1

4

(x-1)
由

y-2= -m-1 4 (x-1) y=x+3

解得xc=

m-3

m+5

，
則

3-5m

m-3

=

m-3

m+5

，得3m²+8m-3=0解得m=

1

3

或m=-3．
而當(dāng)m=-3時(shí)，點(diǎn)B在直線l上，不能構(gòu)成三角形，故這樣的三角形只有一個(gè)．
（Ⅱ）當(dāng)m=

1

3

時(shí)，B(

1

3

，0)， C(-

1

2

，

5

2

)，
∴線段BC的方程為3x+y-1=0(-

1

2

≤x≤

1

3

)．

點(diǎn)評：考查學(xué)生會(huì)求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，會(huì)根據(jù)條件寫出直線的一般方程．