Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx﹣ax2+ ．
（I） 當a= 時，判斷f（x）在其定義上的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 其中x1＜x2 ． 求證：
（i）f（x2）＞0；
（ii）x1+x2＞ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（0，+∞），
a= 時，f（x）=xlnx﹣ x2+ ，f′（x）=lnx+1﹣x，f″（x）= ，
當0＜x＜1時，f″（x）＞0，當x＞1時，f″（x）＜0，
∴f′（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f′（x）max=f′（1）=0，
∴f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：（i）∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，
∴由函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2
得函數f′（x）=lnx+1﹣2ax，x＞0有兩個零點x1 ， x2
∵f″（x）= ﹣2a= ，
當a≤0時，有f″（x）＞0此時f′（x）在x∈（0，+∞）上單調遞增，
∴不符合，
∴a＞0此時x∈（0， ）時，f″（x）＞0，x∈（ ，+∞）時，f″（x）＜0
∴f′（x）在x∈（0， ）上單調遞增，在x∈（ ，+∞）上單調遞減
又f′（x）有兩個零點x1 ， x2 ，
∴f′（ ）＞0，∴ln ＞0，∴ ＞1，∴0＜a＜ ，
∴當x∈（0，x1）時，f′（x）＜0，當x∈（x1 ， x2）時，f′（x）＞0，
當x∈（x2 ， +∞）時，f′（x）＜0
∴f（x）在x∈（0，x1）上單調遞減，在x∈（x1 ， x2）上單調遞增，
在x∈（x2 ， +∞）上單調遞減
又f′（1）=1﹣2a＞0，∴1∈（x1 ， x2）
∴f（x2）＞f（1）=﹣a+ ＞0；
（ii）由（i）得：0＜a＜ ，
且lnx1+1=2ax1 ， lnx2+1=2ax2 ，
∴lnx1+lnx2+2=2a（x1+x2），
lnx1﹣lnx2=2a（x1﹣x2），
∴ln（x1x2）+2= ln ，
令t= ，則0＜t＜1，且lnx1x2+2= lnt…①，
而lnx1+lnx2+2=2a（x1+x2）…②，
由①②，可得x1+x2＞ 2a（x1+x2）＞2
lnx1+lnx2+2＞2 lnt＞2
lnt＜ lnt﹣ ＜0，
下面證明：當t∈（0，1）時，lnt﹣ ＜0，
令h（t）=lnt﹣ ，h′（t）= ＞0，
∴h（t）在（0，1）遞增，h（t）＜h（1）=0，
∴lnt﹣ ＜0，
∴x1+x2＞ ．
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數，得到導函數的單調性，求出f′（x）max=f′（1）=0，從而求出函數f（x）的單調性；（Ⅱ）（i）函數f'（x）=lnx+1﹣2ax，x＞0有兩個零點x1 ， x2 ， 討論a＞0，a≤0，再求導數，得到f′（ ）＞0，從而0＜a＜ ，再討論f（x）的單調性，即可得證；（ii）得到ln（x1x2）+2= ln ，令t= ，問題轉化為證明lnt﹣ ＜0在（0，1）恒成立，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．