Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展開式中第五項系數與第三項的系數的比是10，求展開式中
（1）含x

3

2

的項；
（2）二項式系數最大的項；
（3）系數最大的項和系數最小的項．

Answer 1

分析：（1）由題意得：

24 C 4 n

22 C 2 n

=10，∴n²-5n-24=0，解得n的值，可得通項公式  T_r+1=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令

8-5r

2

=

3

2

，
得r=1，即得含x

3

2

的項．
（2）二項式系數最大的項為 T₅ =C₈⁴ (

x

)4(

-2

x2

)4，運算求得結果．
（3）設第r+1項的系數絕對值最大，則有

C r-1 8 2r-1≤ C r 8 2r   C r 8 2r≥ C r+1 8 2 r+1

，解得 5≤r≤6，故系數最大的項T₇=1792x^-11，
系數最小的項為 T6=-1792x-

17

2

．

解答：解：（1）由題意得：

24 C 4 n

22 C 2 n

=10，∴n²-5n-24=0，解得n=8．
通項公式為  T_r+1=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令

8-5r

2

=

3

2

，得r=1，∴T₂=-16x

3

2

．
（2）二項式系數最大的項為 T₅ =C₈⁴ (

x

)4(

-2

x2

)4=1120x^-6．
（3）設第r+1項的系數絕對值最大，則有

C r-1 8 2r-1≤ C r 8 2r   C r 8 2r≥ C r+1 8 2 r+1

，
解得：5≤r≤6，∴系數最大的項T₇=1792x^-11，系數最小的項T6=-1792x-

17

2

．

點評：本題考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，求出系數絕對值最大的項，
是解題的關鍵．