Question

已知(

x

-

2

x2

)n（n∈N^*）展開式中二項式系數和為256．
（1）此展開式中有沒有常數項？有理項的個數是幾個？并說明理由．
（2）求展開式中系數最小的項．

Answer 1

分析：（1）先根據所給的二項式系數之和為256，得到n的值，寫出二項式的通項，因為要求常數項，所以使得通項式的x的指數是0，然后看是否存在r滿足條件，有理項的求解使得通項式的x的指數是整數即可；
（2）先求展開式中第r項，第r+1項，第r+2項的系數絕對值，然后假設第r+1項的系數絕對值最大，建立關系式，解之即可．

解答：解：（1）由題意，二項式系數和為2ⁿ=256，解得n=8，
通項Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r•(-

2

x2

)r=

C

r 8

(-2)rx

8-5r

2

，
若T_r+1為常數項，當且僅當

8-5r

2

=0，即5r=8，且r∈Z，這是不可能的，
∴展開式中不含常數項．
若T_r+1為有理項，當且僅當

8-5r

2

∈Z，且0≤r≤8，即r=0，2，4，6，8，
∴展開式中共有5個有理項；
（2）設展開式中第r項，第r+1項，第r+2項的系數絕對值分別為

C

r-1 8

•2r-1，

C

r 8

•2r，

C

r+1 8

•

2

r+1

，
若第r+1項的系數絕對值最大，則

C r-1 8 •2r-1≤ C r 8 •2r C r+1 8 •2r+1≤ C r 8 •2r

，解得5≤r≤6，
又∵r∈Z，
∴r=5或6．
∵r=5時，第6項的系數為負，r=6時，第7項的系數為正，
∴系數最小的項為T6=

C

5 8

(-2)5x-

17

2

=-1792•x-

17

2

．

點評：本題是一個二項展開式的特定項的求法，還考查二項式系數之和的特點，解本題時容易公式記不清楚導致計算錯誤，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．