Question

已知(

x

+

2

x2

)n的展開式中，第5項的系數與第3項的系數之比是56：3，求展開式中的常數項．

Answer 1

分析：在展開式的通項中，令x=1得出第5項的系數與第3項的系數表達式，由已知，求出n，再在通項中令x得指數為0，確定常數項．

解答：解：展開式的通項為Tk+1=

C

k n

•(

x

)n-k•(

2

x2

)k=

C

k n

•2k•x

n-5k

2

第5項的系數為

C

4 n

•2⁴，第3項的系數為

C

2 n

•22
由已知，得出

C

4 n

•2⁴：

C

2 n

•22=56：3，解得n=10
所以通項公式Tk+1=

C

k 10

(

x

)10-k(

2

x2

)k=

C

k 10

2kx5-

5

2

k，
當k=2時，取到常數項 即T₃=180．

點評：本題考查二項式定理的應用：求指定的項．牢記公式是基礎，方程思想是關鍵．