Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：存在非零常數k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=+f（x）恒成立．現有兩個函數：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log₂x，則函數f（x）、g（x）與集合M的關系為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=+g（x）得出k=，k的取值與x有關，不是常數，與假設矛盾，從而得出結論；（2）由于當log₂（kx）=+log₂x成立時，等價于log₂k=，此式顯然當k=4時此式成立，可見，存在非零常數k=4，使g（kx）=+g（x），從而得出答案．
解答：解：（1）假設g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=+g（x）
⇒a（kx）+b=+（ax+b）
⇒k=
⇒k的取值與x有關，不是常數，與假設矛盾
⇒g（x）不屬于集合M

（2）log₂（kx）=+log₂x
⇒log₂k+log₂x=+log₂x
⇒log₂k=，
當k=4時此式成立，
可見，存在非零常數k=4，使g（kx）=+g（x）
∴g（x）∈M，
故答案為：f（x）∉M，g（x）∈M．
點評：本小題主要考查元素與集合關系的判斷、對數的運算法則、對數函數的性質、方程式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．