Question

【題目】已知函數 存在互不相等實數a，b，c，d，有f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m．現給出三個結論：
⑴m∈[1，2）；
⑵a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e為自然對數的底數；
⑶關于x的方程f（x）=x+m恰有三個不等實根．
正確結論的個數為（　　）
A.0個
B.1個
C.2個
D.3個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：作出函數 的圖象如圖，

若直線y=m與函數y=f（x）的圖象相交于四個不同的點，由圖可知m∈[1，2），

故（1）正確；

設y=m與函數y=f（x）的交點自左至右依次為a，b，c，d，

由﹣2﹣lnx=1，得x=e﹣3，由﹣2﹣lnx=2，得x=e﹣4，

∴c∈（e﹣4，e﹣3]，

又﹣2﹣lnc=2+lnd，∴cd=e﹣4，

∴a+b+c+d=﹣2+c+ 在（e﹣4，e﹣3]上是遞減函數，

∴a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），

故（2）正確；

設斜率為1的直線與y=lnx+2相切于（x0，lnx0+2），

則由 ，可得x0=1，則切點為（1，2），

此時直線方程為y﹣2=1×（x﹣1），即y=x+1，

∴當m=1時，直線y=x+m與函數y=f（x）有4個不同交點，即關于x的方程f（x）=x+m有四個不等實根，

故（3）錯誤．

∴正確結論的個數是2個．

故選：C．

作出分段函數的圖象，根據數形結合，逐個分析可得出（1）（2）為正確結論.