Question

【題目】已知A(a,0)、B(0,b)（其中ab≠0）O為坐標原點.

（1）動點P(x,y)滿足,求P點的軌跡方程；

（2）設是線段AB的n+1（n≥1）等分點，當n=2018時，求的值；

（3）若a=b=1,t∈[0,1],求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）=1；（2）；（3）

【解析】

（1）由，可得點三點共線,即點在直線上,

再求直線的截距式方程即可；

（2）設依次為從A起始的2019個等分點，可得，再首尾相加可得的值；

（3）的幾何意義是：線段上的一點到兩個定點的距離之和，再利用兩點之間線段最短，求最小值即可.

解: （1）因為,

所以,

所以,

即,

即點三點共線,即點在直線上,

由直線的截距式方程可得: P點的軌跡方程為=1；

（2）不妨設依次為從A起始的2019個等分點，于是有, ,

所以，事實上，對任意的正整數，若，

則有，，

即，

所以

,

所以；

（3）當a=b=1,根據題意，在線段上存在一點，使得 , ,

且有點 ，,則有,

,則的幾何意義是：線段上的一點到兩個定點的距離之和，又直線的方程為， 易得點關于直線的對稱點為，根據反射定律可得即為所求的最小值，又，

故的最小值為.