Question

給出下列四個結論：
①若α、β為銳角，tan（α+β）=-3，，則；
②在△ABC中，若，則△ABC一定是鈍角三角形；
③已知雙曲線，其離心率e∈（1，2），則m的取值范圍是（-12，0）；
④當a為任意實數時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P，則焦點在y軸上且過點P的拋物線的標準方程是x²=．其中所有正確結論的個數是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①由題意可先求tan（α+2β）=，結合α，β為銳角且可求α+2β的范圍，進而可求
②由，可得0，則B＞90°
③根據離心率的范圍求得m的取值范圍判斷．
④，先求出直線恒過的定點，再求出符合條件的拋物線方程
解答：解：①由tan（α+β）=-3，，則可得tan（α+2β）==
∵α，β為銳角且可知
∴
∴，故①正確
②△ABC中，若，則0，則B＞90°，則△ABC一定是鈍角三角形，故②正確
③離 心率1＜e=＜2，解得-12＜m＜0，故m的范圍是-12＜m＜0，③正確，
④整理直線方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P（-2，3），可設拋物線方程為x²=2py，由過（-2，3）可得4=6p，則，故符合條件的方程是 ，則④正確
故其中所有正確結論的個數是：4
故選D．
點評：本小題主要考查拋物線的標準方程及性質、雙曲線的標準方程及性質、不等式的解法，兩角和的正切公式的應用及向量的夾角的應用．