Question

已知一個數列{a_n}的各項是0或1，首項為0，且在第k個0和第k+1個0之間有2^k-1個1，即0，1，0，1，1，1，0，1，1，1，1，1，1，1，0，…，則前2 015項中0的個數為

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由于第k個0和它后面2^k-1個1的個數之和為2^k，按這個要求分組，每組數字的個數組成一個以2為首項、2為公比的等比數列，該數列的前n項和等于

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2．注意到2⁹⁺¹-2＜2015＜2¹⁰⁺¹-2，即可得出．

解答： 解：依題意得，第k個0和它后面2^k-1個1的個數之和為2^k，
按這個要求分組，每組數字的個數組成一個以2為首項、2為公比的等比數列，
該數列的前n項和等于

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2．
注意到2⁹⁺¹-2＜2015＜2¹⁰⁺¹-2，
因此在題中的數列中，前2 015項中共有10個0．
故答案為：10．

點評：本題考查了等比數列的前n項和公式、2的冪的性質，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．