Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當時，求證：對任意的.

Answer 1

【答案】（1）在上是單調遞減的函數；（2）詳見解析．

【解析】試題分析：（1）求導，根據導函數的取值情況分析的單調性；（2）令，求導，分析其單調性，進而研究其取值情況，問題等價于證明即可得證..

試題解析：（1）當時， ， ，

，∵當時， ，∴，∴在上是單調遞減的函數；（2）設， ， ，令， 則，當時， ，有，∴在上是減函數，即在上是減函數，

又∵， ，∴存在唯一的，使得， ∴當時， ， 在區間單調遞增；

當時， ， 在區間單調遞減，因此在區間上

，

∵，∴，將其代入上式得

，

令， ，則，即有， ，

∵的對稱軸，∴函數在區間上是增函數，且，

∴，（ ），即任意， ，∴，因此任意， .