Question

已知函數f（x）=2x-2lnx
（Ⅰ）求函數在（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的極值；
（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點Q處的切線l∥P₁P₂，則稱l為弦P₁P₂的陪伴切線．已知兩點A（1，f（1）），B（e，f（e）），試求弦AB的陪伴切線l的方程．

Answer 1

（I）∵y=2x-2lnx，∴y′=2-2×

1

x

∴函數y=2x-2lnx在x=1處的切線斜率為0，
又∵切點坐標為（1，2）
切線方程為y=2；
（Ⅱ）f′(x)=2-

2

x

，x＞0．…（6分）
f′（x）=0，得x=1．
當x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

∴當x=1時，f（x）取得極小值f（1）=2．沒有極大值．…（9分）
（Ⅲ）設切點Q（x₀，y₀），則切線l的斜率為f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率為kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

．…（10分）
由已知得，l∥AB，則2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，代入函數式得y₀=2（e-1）-2ln（e-1）
解出切點坐標（e-1，2（e-1）-2ln（e-1））…（12分）
再由點斜式寫出方程y-2（e-1）+2ln（e-1）=

2e-4

e-1

（x-e-1），即：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)，
所以，弦AB的伴隨切線l的方程為：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．…（13分）