Question

已知函數(shù)f(x)＝＋ln x.
(1)當a＝時，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－x在[1，e]上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

(1) 最大值是0，最小值是ln 2－1   (2)

(1)當a＝時，f(x)＝＋ln x，
f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2.
∴當x∈[1,2)時，f′(x)＜0，故f(x)在[1,2)上單調(diào)遞減；
當x∈(2，e]時，f′(x)＞0，故f(x)在(2，e]上單調(diào)遞增．
∴f(x)在區(qū)間[1，e]上有唯一的極小值點，
故f(x)_min＝f(x)_極小值＝f(2)＝ln 2－1.
又∵f(1)＝0，f(e)＝＜0.
∴f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值f(x)_max＝f(1)＝0.
綜上可知，函數(shù)f(x)在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln 2－1.
(2)∵g(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x，
∴g′(x)＝ (a＞0)，
設(shè)φ(x)＝－ax²＋4ax－4，由題意知，只需φ(x)≥0在[1，e]上恒成立即可滿足題意．
∵a＞0，函數(shù)φ(x)的圖象的對稱軸為x＝2，
∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥即可．
故正實數(shù)a的取值范圍為.