Question

已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比
數(shù)列．
（1）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）若存在正整數(shù)，使得．試比較與的大小，并說明理由．

Answer 1

(1);(2) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

試題分析：(1)利用基本量思想求解兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后才有錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）利用等量關(guān)系關(guān)系，減少公差d，進(jìn)而將與進(jìn)行表示，然后才有作差比較進(jìn)行分析，注意分類討論思想的應(yīng)用.
試題解析：（1）依題意，，
故，
所以，                                       3分
令，            ①
則，   ②
①②得，，

，
所以．                                          7分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020652746463.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，即，
故，
又，                                                         9分
所以


11分
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由知



，                                                  13分
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由知



，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．      16分
（注：僅給出“時(shí)，；時(shí)，”得2分．）
方法二：（注意到數(shù)列的函數(shù)特征，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解）
(易知)，
令，有，，
令，則．記．
若，則在上，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則，
這與相矛盾；
若，則在上，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則，
這與相矛盾；
所以，．
故在上，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，
在上，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020653947671.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．