Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知，若直線于點，點是直線上的一動點，是線段的中點，且，設點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點作直線交于點，交軸于點，過作直線，交于點.試判斷是否為定值？若是，求出其定值；若不是，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】分析：（1）由題意設出點的坐標，結合平面向量數量積的坐標運算可得點的軌跡E的方程為 ．

（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為 ，與橢圓方程聯立可得，由直線平行的充要條件可得的方程為，與橢圓方程聯立計算可得，，，則為定值2.

詳解：（1）設，由題意得 ，

所以，　　

所以，化簡得，

所以所求點的軌跡E的方程為 ．

（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為 ，

令，得，即．

由　解得，即，

因為，所以的方程為，

由　解得，　 　

所以，，，

所以＝2．