Question

【題目】已知函數.

（1）當a=2，求函數的極值；

（2）若函數有兩個零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2)

【解析】

（1）代入a的值，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；

（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，結合函數的零點個數確定a的范圍即可．

（1）當a=2時，，令，解得x=1.

列表：

x		1
	—	0	+
		極小值

所以，當x=1時，有極小值，沒有極大值

（2）①因為. 所以，.

當時，，

所以在上單調遞增，只有一個零點，不合題意，

當時，由得，由得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在處取得極小值，即為最小值.

1°當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

只有一個零點，不合題意；

2°當時，，故，最多有兩個零點.

注意到，令,

取，使得，下面先證明；

設，令，解得.

列表

x
	—	0	+
		極小值

所以，當，有極小值.

所以，故，即.

因此，根據零點存在性定理知，在上必存在一個零點，

又x=1也是的一個零點，則有兩個相異的零點，符合題意

3°當時，，故，最多有兩個零點.

注意到，取，

則

，

因此，根據零點存在性定理知，在上必存在一個零點，

又x=1也是的一個零點，則有兩個相異的零點，符合題意.

綜上所述，實數a的取值范圍是.