Question

如圖，在△ABC中，三內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a²=b²+c²+bc，a=

3

，S為△ABC的面積，圓O是△ABC的外接圓，P是圓 O上一動點，當S+

3

cosBcosC取得最大值時，

PA

•

PB

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算,正弦定理

專題：解三角形,平面向量及應用

分析：根據余弦定理可得A=

2π

3

，進而由正弦定理可得：三角形外接圓半徑R=1，則當B=C=

π

6

時，S+

3

cosBcosC取得最大值建立坐標系，設P（cosθ，sinθ），求出向量

PA

，

PB

的坐標，進而將

PA

•

PB

化為正弦型函數的形式，可得其最大值．

解答： 解：∵a²=b²+c²+bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
又由A為三角形內角，
∴A=

2π

3

設圓O的半徑為R，則2R=

a

sinA

=

3

sin 2π 3

=2，
∴R=1，
∴S+

3

cosBcosC=

1

2

bcsinA+

3

cosBcosC=

3

4

bc+

3

cosBcosC=

3

sinBsinC+

3

cosBcosC=

3

cos(B-C)
當B=C=

π

6

時，S+

3

cosBcosC取得最大值
建立如圖直角坐標系，則A（0，1），B(-

3

2

，

1

2

)，C(

3

2

，

1

2

)，

設P（cosθ，sinθ），則

PA

•

PB

=(cosθ，sinθ-1)(cosθ+

3

2

，sinθ-

1

2

)=

3

2

cosθ-

3

2

sinθ+

3

2

=

3

2

+

3

cos(θ+

π

3

)
當且僅當cos(θ+

π

3

)=1時，

PA

•

PB

取最大值

3

2

+

3

．
故答案為：

3

2

+

3

．

點評：本題考查的知識點是正弦定理，余弦定理，向量的數量積運算，是三角函數與平面向量的綜合應用，難度中檔．